- Je berekent de determinant van een 2×2-matrix.
- Je onderscheidt negatieve oriëntatie van een negatieve oppervlakte.
Je rekt een afbeelding horizontaal twee keer uit en verticaal drie keer. Ieder klein vierkantje beslaat daarna zes keer zoveel oppervlakte. Maar wat gebeurt er als je de afbeelding ook spiegelt, scheeftrekt of helemaal platdrukt?
Begin met het vierkant met hoeken (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), in die volgorde. Het heeft oppervlakte één. De determinant (determinant) vat samen hoe een matrix deze oppervlakte én de omlooprichting verandert.
A = [[1, schuif], [0, hoogte]]. Probeer een scheeftrekking, spiegeling en hoogte nul.
Zet de horizontale schuif op 0 en de verticale hoogte op 2. Het vierkant wordt een rechthoek van één breed en twee hoog: oppervlakte 2. Zet de hoogte daarna op −2: de rechthoek staat onder de as, maar haar oppervlakte blijft 2.
Volg de hoeknummers 0 → 1 → 2 → 3. Bij positieve hoogte loop je tegen de klok in, bij negatieve hoogte met de klok mee. Die omlooprichting heet oriëntatie (orientation); de determinant gebruikt het teken om het verschil te onthouden.
1. Twee producten vergelijken
De twee kolommen van een matrix zijn de zijden van het veranderde vierkant. Liggen die op dezelfde lijn, eventueel tegengesteld, dan ontstaat geen vlak maar een lijn of punt. De determinant meet daarom niet alleen hoe groot de getallen zijn, maar ook of de zijden samen ruimte opspannen.
Voor een matrix met twee rijen en twee kolommen gebruiken we vier namen:
a staat linksboven, b rechtsboven, c linksonder en d rechtsonder. De oppervlaktebijdrage a maal d wordt verminderd met de kruisbijdrage b maal c:
det(A) betekent de determinant van A; naast elkaar geschreven letters worden vermenigvuldigd. Voor rijen (2, 1) en (3, 4) reken je 2 × 4 = 8 en 1 × 3 = 3; het verschil is 5. Dezelfde berekening in Python:
A = [[2, 1], [3, 4]]
eerste = A[0][0] * A[1][1]
tweede = A[0][1] * A[1][0]
print(eerste - tweede) # 5
Bij [[1, 0], [0, 1]] krijg je 1. Deze identiteitsmatrix (identity matrix) laat iedere vector onveranderd, dus ook de oppervlakte. Bouw nu det2(A); de formule met twee producten geldt alleen voor 2×2, niet voor grotere matrices.
2. Het teken is geen negatieve oppervlakte
Neem een matrix die horizontaal verdubbelt en verticaal met −3 vermenigvuldigt: [[2, 0], [0, -3]]. De determinant is 2 × −3 − 0 × 0 = −6. De afbeelding is gespiegeld en de oppervlakte is zes keer zo groot.
Voor een gebied met oorspronkelijke oppervlakte 4 wordt de nieuwe oppervlakte dus 6 × 4 = 24. De absolute waarde verwijdert alleen het minteken: abs(-6) geeft 6 en abs(6) ook.
O is de oorspronkelijke oppervlakte; O met het onderschrift “nieuw” is de nieuwe. De enkele verticale strepen betekenen absolute waarde. Gebruik je eerder geschreven det2 in deze Pythonberekening:
A = [[2, 0], [0, -3]]
O = 4
print(abs(det2(A)) * O) # 24
Veelgemaakte fout: een negatieve determinant betekent geen negatieve oppervlakte of verdwenen informatie. Verander in het diagram de schuif bij hoogte 1: de vorm wordt scheef, maar de oppervlakte blijft 1. De determinant vertelt dus ook niet of de vorm onveranderd is.
Schrijf nieuwe_oppervlakte(A, O) voor een niet-negatieve oorspronkelijke oppervlakte.
3. Nul betekent dat terugrekenen niet uniek is
De matrix [[1, 0], [0, 0]] bewaart de horizontale component en wist de verticale. Invoer (2, 1) én (2, 9) worden allebei (2, 0). Je kunt aan de uitvoer niet meer zien welke hoogte de invoer had.
De determinant is nul; in het diagram zie je dat ook bij hoogte 0. De matrix is singulier (singular): zij heeft geen inverse die elke invoer terugvindt. Een niet-nulle determinant betekent wiskundig wél omkeerbaarheid.
Computers rekenen vaak met kommagetallen, floats, waarbij afronding kan optreden. Voor deze oefening spreken we bovendien een eenvoudige drempel af: we weigeren een heel kleine absolute determinant. 1e-10 is Pythonnotatie voor 0.0000000001; tol noemt de gekozen drempel.
tol = 1e-10
print(abs(5) > tol) # True
print(abs(1e-12) > tol) # False
True en False zijn booleans: ja en nee. Met def omkeerbaar(A, tol=1e-10): geeft de starter een standaardwaarde; wie een tweede argument meegeeft, kiest zelf de drempel. Geef het resultaat van de vergelijking terug, ook bij exacte gelijkheid met tol: dan is > onwaar.
Dit is een oefenregel, geen exacte wiskundige uitspraak. Een matrix die beide assen met 1e-6 schaalt heeft determinant 1e-12: mathematisch omkeerbaar, maar onze standaarddrempel weigert haar. De toets hangt dus ook van de schaal af.
Wat neem je mee?
- De absolute determinant schaalt de oppervlakte; het teken bewaart de oriëntatie.
- Bij determinant nul kunnen verschillende invoeren dezelfde uitvoer geven.
- Een numerieke drempel is een afgesproken benadering en kan een omkeerbare matrix weigeren.
In de volgende les maak je de inverse expliciet en controleer je of terugrekenen werkelijk het juiste antwoord geeft.