- Je onderscheidt een gemiddelde helling van een lokale afgeleide.
- Je benadert een afgeleide met voorwaartse en centrale verschillen.
Een model schat een woning te duur. Je wilt weten of een kleine aanpassing van een instelling die voorspelling verbetert of juist verslechtert. Dat onderzoeken we eerst met een eenvoudig landschap, zonder al een model te hoeven trainen.
Een functie (function) koppelt aan iedere toegestane invoer één uitvoer. Onze functie kwadrateert de invoer: bij 1 krijg je 1, bij 2 krijg je 4 en bij 3 krijg je 9. Teken invoer horizontaal en uitvoer verticaal; de punten vormen een kromme.
1. Verandering per stap naar rechts
Loop op die kromme van punt (1, 1) naar (3, 9). Je gaat 3 − 1 = 2 naar rechts en 9 − 1 = 8 omhoog. Gemiddeld is dat vier omhoog per één naar rechts: de gemiddelde helling (average slope) is 4.
m is de helling. De kleine cijfers 1 en 2 benoemen beginpunt en eindpunt; x is de horizontale en y de verticale coördinaat. Boven de breukstreep staat de verandering in uitvoer, onderaan die in invoer.
p = (1, 1)
q = (3, 9)
omhoog = q[1] - p[1]
naar_rechts = q[0] - p[0]
print(omhoog / naar_rechts) # 4.0
Een paar tussen ronde haakjes met een komma heet een tuple. Net als bij een lijst kiest [0] het eerste getal en [1] het tweede; een tuple kun je niet op zijn plaats aanpassen. We gebruiken deze puntennotatie in gemiddelde_helling(p, q).
Als de x-coördinaten gelijk zijn, is de noemer nul. Controleer dat met if q[0] == p[0]: en geef dan None terug: dat betekent “geen uitkomst”, niet nul helling. Anders bereken je de verhouding; een negatieve uitkomst betekent dalen in plaats van stijgen.
2. De helling vlak bij één punt
De rechte lijn door twee punten heet een secant (secant). Schuif het tweede punt steeds dichter naar het eerste: de lijn nadert bij deze gladde kromme een lokale richting. De lijn met die richting heet de raaklijn (tangent).
Voor f(x)=x²: oranje verbindt twee punten, groen toont de exacte lokale helling.
Zet x op 2 en verklein afstand h van 1 naar 0.1. Oranje verbindt de twee punten; groen toont de lokale richting bij het eerste punt. Bekijk hoe hun hellingen dichter bij elkaar komen.
De lokale helling heet de afgeleide (derivative). We schrijven f voor de functie en f′, uitgesproken “f-accent”, voor haar afgeleide. Een positief h is de afstand naar het buurpunt; met een voorwaarts verschil (forward difference) schat je:
Het teken ≈ betekent “ongeveer gelijk”. f(x) betekent de uitvoer van f bij invoer x; f(x+h) gebruikt het buurpunt. Bij x = 2 en h = 0.1 zijn de uitvoerwaarden 4 en 4.41: het verschil 0.41 gedeeld door 0.1 geeft ongeveer 4.1.
def kwadraat(x):
return x ** 2
x = 2
h = 0.1
print((kwadraat(x + h) - kwadraat(x)) / h)
# ongeveer 4.1
Bij h = 0.01 wordt het ongeveer 4.01. De waarden naderen 4: voor kwadrateren is de exacte afgeleide bij x gelijk aan tweemaal x. Je benadert die richting met een steeds kleinere stap; je vult h niet letterlijk als nul in.
Python kan ook een hele functie als invoer ontvangen. In voorwaarts(kwadraat, 2, 0.1) geef je de naam kwadraat zonder haakjes mee; binnen voorwaarts heet zij f en roep je haar aan als f(x) of f(x+h). Bouw nu die functie voor een gegeven h groter dan nul.
3. Aan beide kanten meten
Neem rond x = 2 nu de punten 1.9 en 2.1. Kwadrateren geeft 3.61 en 4.41; het verschil is 0.8 over een horizontale afstand van 0.2. De helling is 4: het centrale verschil (central difference) gebruikt beide kanten.
De totale afstand is 2h, niet h. Met dezelfde kwadraatfunctie reken je:
rechts = kwadraat(x + h)
links = kwadraat(x - h)
print((rechts - links) / (2 * h))
# ongeveer 4
Voor een kwadraat valt de benaderingsfout wiskundig weg. Dat is geen algemene garantie: bij kuberen, x ** 3, geeft x = 2 met h = 0.1 ongeveer 12.01, terwijl de exacte afgeleide 12 is. Computers kunnen bovendien afronden, zodat een extreem kleine h de uitkomst juist slechter kan maken.
Veelgemaakte fout: “kleiner is altijd beter” of delen door h bij twee meetpunten op afstand 2h. Schrijf centraal(f, x, h=1e-5) voor h groter dan nul; de standaardwaarde 1e-5 betekent 0.00001 en wordt gebruikt wanneer de aanroeper geen h meegeeft. Verander f zelf niet: jouw functie vraagt alleen twee uitvoerwaarden op.
Wat neem je mee?
- Een gemiddelde helling deelt uitvoerverandering door invoerverandering.
- De afgeleide beschrijft de lokale richting bij één punt; een verschilmeting benadert die.
- Centraal meten gebruikt afstand 2h; een kleinere h kan ook meer afrondingsfout geven.
In de volgende les bereken je afgeleiden direct met rekenregels en gebruik je deze numerieke meting als controle.